Poincaré et le principe d’induction

Résumé

Le principe d’induction est lié à la définition des nombres entiers d’une façon à la fois essentielle et sujette à controverse. Fonde-t-il ces nombres, ou bien trouve-t-il en eux son fondement ? Son statut lui-même peut être conçu de diverses manières. Est-il donné par l’expérience, par l’intuition, par la logique, par convention ? Ces questions furent l’objet d’une âpre discussion, autour des années 1905-1906, dans le cadre plus large d’un débat sur les fondements des mathématiques qui opposa Poincaré aux logicistes (en particulier Russell et Couturat) et aux « axiomatistes » (en particulier Peano et Hilbert). Nous proposons dans cet article de faire le point sur les termes et les enjeux de cette discussion. Nous montrerons en outre qu’elle fut l’occasion d’une redéfinition de l’analytique et, par suite, des frontières de la logique.

Abstract

The principle of induction is linked essentially to the definition of “integers”, but at the same time has been the subject of controversy : Is the principle founded on integers or, on the contrary, are integers founded on it ? The principle itself can be understood in different ways : as a result of experiment, intuition, logic or convention. These topics were hotly debated in the years 1905-06, in the context of a larger debate on the foundations of mathematics, in which Poincaré opposed the logicists (in particular Russell and Couturat) and the “axiomatists” (in particular Peano and Hilbert). This article reconsiders what is at stake by looking at the debate in detail and also shows that the debate provided an opportunity for redefining analyticity, and in doing so, redefining the domain of logic.