Précis de Lautman

Le but de ce livre est d’introduire aux thèses principales de la philosophie mathématique d’Albert Lautman, dont la méconnaissance constituait naguère et constitue toujours une carence importante dans le champ de la philosophie et de l’épistémologie, francophones en particulier. La double singularité de Lautman, par le type de philosophie qu’il convoque, dont l’anachronisme semble la marque majeure, et par la technicité parfois très haute de ses exposés mathématiques, à la fois explique certainement cette méconnaissance, mais a contrario est tout aussi fortement stimulante, en raison notamment du fait, qui n’est pas anodin, de la légitimité qu’il a pu recueillir en son temps et ensuite chez un certain nombre de mathématiciens. Si l’argument d’autorité ne fait pas l’autorité de l’argument, cette reconnaissance m’a semblé encourager à la lecture de cette oeuvre dense et foisonnante en raison des ouvertures et des reprises qu’elle a déjà ponctuellement suggérées, et dont on peut raisonnablement imaginer qu’elle est loin d’avoir livré toute sa fécondité. La volonté est donc double : ouvrir sur certaines pistes lautmaniennes à suivre aujourd’hui, comme prolongement naturel d’une introduction limitant l’exposé aux grandes thèses du penseur. Cependant l’ambition, d’une part, est d’illustrer suffisamment ces thèses pour qu’elles prennent corps sans que les détails n’en obscurcissent les significations majeures, mais d’autre part de ne faire l’impasse sur aucune de ces dernières, sans gommer indûment les tensions ou dimensions éventuellement aporétiques qui leur sont attachées. Le fil conducteur du livre est l’affirmation de Lautman selon laquelle le « rapprochement de la métaphysique et des mathématiques n’est pas contingent, mais nécessaire ». L’exposition et l’interrogation des raisons et des voies de cette nécessité requiert l’articulation permanente entre les différents plans où elle prend sa source et s’atteste : ce qui implique, systématiquement, afin que les thèses majeures de Lautman prennent tout leur relief, d’exposer (1) les conditions et les significations du point de vue historique de leur période d’énonciation, l’entre-deux-guerres français, et cela, dans le domaine des mathématiques comme dans celui de la philosophie, et (2) de restituer les problèmes théoriques spécifiques de chacun des deux champs (2a) dès lors qu’ils étaient ce par rapport ou en fonction de quoi Lautman a pris position ou a été orienté dans ses enquêtes, (2b) ou réciproquement selon la portée ou l’impact qu’ont pu avoir les positions de Lautman sur leur traitement ultérieur. D’où la progression retenue en quatre chapitres, dont les éléments essentiels sont les suivants. Le premier chapitre « Les trois cadres de la pensée lautmanienne » est une sorte de seconde introduction détaillée, qui présente l’essentiel des révolutions, qui ont débuté au milieu du xix^e siècle, de l’analyse (son arithmétisation), de la géométrie (son algébrisation), et au niveau du développement de méthodes structurales pré-axiomatiques puis axiomatiques, en relation d’ailleurs avec la naissance de la nouvelle logique libérée de sa forme antérieurement aristotélicienne. C’est tout cela qui constitue la « matière » mathématique dont Lautman examine les formes les plus contemporaines, notamment celles des algébristes allemands et des futurs bourbakistes français. En second lieu, c’est le point de vue de la métamathématique hilbertienne qui retient l’attention, puisque c’est exactement ce point de vue que Lautman entend reconduire, mais en l’investissant au travers d’une rupture qualitative avec le programme également hilbertien de réduction technique du problème des « fondements » de la mathématique. Lautman en défend au contraire une replatonisation, c’est-à-dire la ré-assimilation de cette métamathématique à une dialectique de type métaphysique selon une perspective (néo)platonicienne plutôt complexe. L’idée est, dès ce moment du livre, d’indiquer que la philosophie lautmanienne va rapidement se débattre avec les difficultés attachées aux tentations « régaliennes …