Méthodes d’inférence exactes pour des processus autorégressifs : une approche fondée sur des tests induits

Résumé

Dans ce texte, nous considérons un modèle autorégressif d’ordre p (où p ≥ 1) gaussien, possiblement non stationnaire, avec un terme constant (tendance). Nous développons des méthodes d’inférence exactes pour les coefficients de ce modèle. Nous proposons une méthode qui permet de tester n’importe quelle hypothèse qui fixe le vecteur complet des coefficients autorégressifs du modèle puis, en « inversant » ces tests, de construire une région de confiance conjointe pour les coefficients du vecteur. Chaque hypothèse est testée en transformant d’abord les observations de façon à faire disparaître toute autocorrélation sous l’hypothèse nulle puis en testant si les observations transformées sont indépendantes. Pour ce faire, nous combinons plusieurs tests d’autocorrélation conçus pour détecter la dépendance aux délais 1, 2, ..., p. La méthode proposée permet de construire de façon simple les régions de confiance en résolvant 2p polynômes de second degré pour chaque coefficient (après un balayage des p – 1 coefficients restants du modèle et pour chaque configuration de ces p – 1 coefficients). Pour faire de l’inférence sur les coefficients individuels du modèle ou sur des transformations plus générales des coefficients autorégressifs, nous proposons d’utiliser une technique de projection. Nous appliquons la méthode développée à un modèle du P.I.B. réel tunisien.

Abstract

In this paper, we consider a gaussian autoregressive model of order p, which may be nonstationary and includes a drift term (where p ≥ 1). Exact inference methods are developed for the autoregressive coefficients. We consider first the problem of testing any hypothesis that fixes the vector of the autoregressive coefficients. This is done by first transforming the observations in a way that eliminates serial dependence under the null hypothesis, and then testing whether autocorrelation remains present in the transformed data. The latter task is accomplished by combining several independence tests against serial correlation at lags 1, 2, ..., p. A valid confidence region for the autoregressive coefficients may then be obtained by inverting the latter tests. We show that this confidence region can be built numerically on solving 2p polynomials of order 2, where in each case p – 1 autoregressive coefficients are fixed, and then using a grid search over the latter p – 1 coefficients. For inference on individual coefficients or more general transformations of the autoregressive coefficients, we propose the use of a projection approach. The proposed method is applied to a time series model of real G.D.P. in Tunisia.

Introduction

L’inférence statistique (tests et régions de confiance) sur des modèles autorégressifs constitue l’un des problèmes fondamentaux posé par l’analyse des séries chronologiques en économétrie et en statistique. Les méthodes utilisées pour ce faire sont habituellement basées sur des approximations asymptotiques dont la fiabilité est généralement douteuse, même sous des hypothèses paramétriques précises (p. ex., innovations gaussiennes). Ainsi les niveaux réels des tests peuvent différer de façon arbitrairement grande de ceux affichés par les approximations de grands échantillons (voir Blough, 1992; Cochrane, 1991; Dufour, 1997; Staiger et Stock 1997). C’est le cas en particulier, lorsque le processus considéré est d’un ordre plus grand que un; voir, par exemple, Diebold et Nerlove (1990), Gourieroux et Monfort (1990), Brockwell et Davis (1991), Stock (1991, 1994) et Hamilton (1994). Il n’y a aucune garantie que ces méthodes sont « valides en échantillon fini ».

Dans ce texte, nous développons des méthodes d’inférence exactes relativement simples qui permettent de réaliser des tests et de construire des régions de confiance sur les coefficients d’un processus autorégressif d’ordre p [AR(p)] gaussien contenant un paramètre constant inconnu. Il n’y a pas de contrainte sur la stationnarité du processus. Nous allons principalement nous intéresser au problème de la construction de régions de confiance pour les paramètres du modèle. La méthode générale développée est une extension de l’approche décrite dans Dufour (1990) pour des processus AR(1).

L’approche proposée comporte deux étapes principales. La première consiste à obtenir un test qui permet de vérifier n’importe quelle hypothèse fixant le vecteur complet des coefficients du processus autorégressif. La distribution de chaque statistique proposée ne comporte pas de paramètres de nuisance. Chaque hypothèse de ce type est testée en transformant les observations de façon à faire disparaître l’autocorrélation entre celles-ci sous l’hypothèse nulle – dépendance qui ne disparaît pas sous la contre-hypothèse – et en testant si les observations transformées sont indépendantes. En outre, pour traiter les cas où p ≥ 2, nous proposons un test induit qui combine plusieurs tests d’autocorrélation conçus pour détecter la dépendance aux délais 1, 2, ..., p[1].

Cette méthode a l’avantage de simplifier considérablement le calcul des distributions des statistiques sous l’hypothèse nulle et de permettre l’utilisation de tables, comme celles fournies par Vinod (1973, table IIa). Typiquement, les valeurs critiques appropriées peuvent être calculées au moyen de l’algorithme d’Imhof (1961) ou d’algorithmes semblables (p. ex., Ansley, Shively et Kohn, 1992). La seconde étape consiste à construire une région de confiance conjointe pour les coefficients du modèle. Cette dernière est obtenue en cherchant l’ensemble des vecteurs de coefficients autorégressifs qui ne sont pas rejetés par la procédure de test développée plus haut. En d’autres termes, on « inverse » la famille de tests considérée. On peut ainsi calculer de façon simple les régions de confiance. En effet, pour le cas AR(1), la région de confiance se calcule facilement en résolvant deux polynômes du second degré. Pour les processus d’ordre plus élevé (p ≥ 2), on peut avoir recours à un balayage sur p – 1 coefficients du modèle : pour chaque configuration de ces p – 1 coefficients, on obtient l’ensemble des valeurs acceptables du dernier paramètre (qui peut être vide) en résolvant 2p polynômes du second degré. La région de confiance conjointe est alors l’union des « régions conditionnelles » ainsi obtenues.

À partir de la région de confiance conjointe, on peut construire des intervalles de confiance pour les coefficients individuels du modèle par une méthode de projection et tester toute genre d’hypothèse, linéaire ou non linéaire, sur les coefficients du modèle. Ces intervalles de confiance et les tests ainsi obtenus possèdent aussi une propriété de simultanéité, telle que définie dans la littérature statistique sur l’inférence simultanée (voir Miller, 1981; Savin, 1984) : la probabilité que les vraies valeurs de tous les paramètres considérés soient simultanément couvertes par ces intervalles est au moins égale au niveau affiché (95 % par exemple). Cette propriété sera définie de façon plus formelle à la section 4. Dans le cas d’intervalles de confiance non simultanés, cette probabilité est typiquement inférieure au niveau. Les méthodes proposées sont appliquées à un modèle du produit intérieur brut (P.I.B.) réel tunisien.

Notre texte est divisé comme suit. Après avoir décrit le modèle et les principales notations utilisées dans la première section, nous montrons à la section 2 comment construire un test combiné des paramètres du modèle autorégressif. Dans la troisième section, nous discutons comment construire une région de confiance conjointe pour les coefficients du modèle, en considérant d’abord en détail les cas AR(1) et AR(2). Dans la quatrième section, nous étudions comment construire des régions de confiance pour les coefficients individuels du modèle et comment tester diverses hypothèses sur ces coefficients. Dans la cinquième section, nous appliquons les méthodes proposées à un modèle du P.I.B. réel tunisien. Finalement, nous concluons.

1. Modèle et notations

Nous étudions ici le modèle AR(p) :

(1.1)

y_t = β₁ + φ₁y_t-1 + φ₂y_t-2 + ... + φ_py_t-p + u_t

(1.2)

et

où y₀, y_-1, ..., y_-p+1 sont indépendants de u = (u₁, ..., u_T)′, T ≥ p + 1 et les paramètres φ₁, φ₂, ..., φ_p, β₁ et σ² sont inconnus. Afin de faciliter l’interprétation des résultats, il sera utile de reparamétrer le modèle de manière analogue à Dickey (1976), Fuller (1976) et Beveridge et Nelson (1981). On voit facilement que

y_t = β₁ + φ₁y_t-1 + φ₂y_t-2 + ... + φ_py_t-p + u_t

= β₁ + (φ₁ + φ₂ + ... + φ_p) y_t-1 – (φ₂ + φ₃ + ... + φ_p) (y_t-1 – y_t-2)

– (φ₃ + φ₄ + ... + φ_p) (y_t-2 – y_t-3) + ... + (–φ_p) (y_t-p+1 – y_t-p) + u_t

ou encore

y_t = β₁ + θ₁y_t-1 + θ₂(y_t-1 – y_t-2) + ... + θ_p(y_t-(p-1) – y_t-p) + u_t

= β₁ + θ₁y_t-1 + θ₂Δy_t-1 + ... + θ_pΔy_t-p+1 + u_t

(1.3)

où θ₁ = φ₁ + φ₂ + ... + φ_p, θ_j = – φ_i, Δy_t-j = y_t-j – y_t-(j+1), j ≥ 2. Les paramètres inconnus du modèle transformé (1.3) sont donc θ = (θ₁, θ₂, ..., θ_p)′, β₁ et σ, tandis que les variables explicatives sont y_t-1, Δy_t-1, ..., Δy_t-p+1. Les équations (1.1) et (1.3) sont complètement équivalentes.

2. Test de l’hypothèse H₀ (θ₀) : θ = θ₀

Nous allons maintenant étudier le problème qui consiste à tester une hypothèse de la forme

(2.1)

H₀ (θ₀) : θ = θ₀ contre H_a (θ₀) : θ ≠ θ₀.

Nous dénotons par θ = (θ₁, θ₂, ..., θ_p)′ le vecteur des vraies valeurs de ces paramètres et par θ₀ = (θ₁₀, θ₂₀, ..., θ _p0)′ n’importe quel vecteur hypothétique de ces valeurs. Sous H₀ (θ₀),

(2.2)

y_t – θ₁₀y_t-1 – θ₂₀Δy_t-1 – ... – θ_p0Δy_t-p+1 = β₁ + u_t, t = 1, ..., T.

Si on définit

(2.3)

z_t(θ) = y_t – θ₁y_t-1 – θ₂Δy_t-1 – ... – θ_pΔy_t-p+1, t = 1, ..., T

(2.4)

et z(θ) = [z₁(θ), z₂(θ), ..., z_T(θ)]′,

on voit que, sous H₀(θ₀), la série {z_t(θ₀) : t = 1, ..., T} est un bruit blanc normal de moyenne β₁. Sous la contre-hypothèse H_a(θ₀), la même série sera autocorrélée et suivra un processus ARMA(p, p). On peut donc tester H₀(θ₀) en testant si les variables z_t(θ₀), t = 1, ..., T, sont mutuellement indépendantes contre la présence d’autocorrélation aux délais 1, 2, ..., p (voir Neifar, 1996). Comme la structure d’autocorrélation d’un processus ARMA (p, p) est complètement déterminée par les p premières autocorrélations, il sera suffisant de tester l’indépendance des z_t(θ₀), t = 1, ..., T, contre la présence d’autocorrélation aux délais 1, 2, ..., p. Pour ce faire, nous allons utiliser p statistiques de la forme suivante :

(2.5)

où Ā_j = MA_jM, = MB_jM, M = I_T – ι′ ι, ι = (1, 1, ..., 1)′ et B_j est une matrice positive définie. L’expression D_j(θ₀) dans (2.5) représente la forme générale de la plupart des statistiques d’autocorrélation usuelles, sauf que le test est ici appliqué au modèle transformé (de façon à éliminer la dépendance sérielle) en utilisant les valeurs des coefficients spécifiées par l’hypothèse nulle (θ = θ₀). Sans perte de généralité, on peut supposer que A_j et B_j (et donc Ā_j et ) sont des matrices symétriques. L’intérêt de considérer de telles statistiques vient du fait que la distribution de chacune d’elles, sous H₀(θ₀), ne dépend d’aucun paramètre de nuisance et peut être calculée assez facilement (par exemple, par l’algorithme d’Imhof, 1961). En particulier, on peut considérer :

1. des statistiques de von Neumann généralisées

(2.6)

où

2. les coefficients d’autocorrélation

(2.7)

3. des statistiques de Durbin-Watson généralisées

(2.8)

Il est facile de voir que toutes ces statistiques s’écrivent sous la forme (2.5)[2].

Un test bilatéral de niveau α_j pour l’hypothèse H₀(θ₀) contre la présence d’autocorrélation au délai j consiste alors à rejeter H₀(θ₀) au niveau α_j (0 < α_j < 1) lorsque

(2.9)

D_j(θ₀) < d_1j(α_1j) ou D_j(θ₀) > d_2j(α_2j)

où d_1j(α_1j) et d_2j(α_2j) sont choisis de façon telle que, sous l’hypothèse nulle,

P[D_j(θ₀) < d_1j(α_1j)] ≤ α_1j, P[D_j(θ₀) > d_2j(α_2j)] ≤ α_2j

et α_1j + α_2j = α_j, 0 ≤ α_1j ≤ 1, 0 ≤ α_2j ≤ 1.

En combinant les statistiques D_j(θ₀), j = 1, ..., p, il est facile d’obtenir un test de H₀(θ₀) contre la présence d’autocorrélation aux délais j = 1, ..., p : il suffit de rejeter H₀(θ₀) lorsqu’au moins un des tests D_j(θ₀), j = 1, ..., p, rejette H₀(θ₀). On appelle une telle procédure un test induit[3]. Pourvu que α₁ + α₂ + ... + α_p ≤ α, le niveau global de la procédure n’excède pas α (par l’inégalité de Boole-Bonferroni). Le test induit ainsi construit a les particularités suivantes : d’une part, on teste le vecteur complet des valeurs de θ et, d’autre part, c’est un test exact de niveau qui n’excède pas α.

3. Région de confiance pour θ

Si on se sert du test induit décrit à la section précédente, l’hypothèse H₀(θ₀) : θ = θ₀ n’est pas rejetée lorsque d_1j(α_1j) ≤ D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j) pour j = 1, ..., p. Par conséquent, l’ensemble des valeurs de θ₀ qui ne sont pas rejetées par cette procédure,

(3.1)

I = {θ₀ : d_1j(α_1j) ≤ D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, ..., p}

est une région de confiance de niveau 1 – α pour θ = (θ₁, θ₂, ..., θ_p)′ :

(3.2)

P[θ ∈ I] ≥ 1 – α.

Autrement dit, la région est obtenue en « inversant » la famille de tests proposée pour des hypothèses de type H₀(θ₀). Si, de plus, on restreint θ à un ensemble de valeurs admissibles , l’ensemble I ∩ constitue aussi une région de confiance de niveau 1 – α (quand les conditions imposées sont correctes). Bien que classique en statistique mathématique (voir Lehmann, 1986 : chapitre 3), l’approche qui consiste à inverser un test général pour obtenir une région de confiance a été rarement utilisée de façon explicite en économétrie; pour quelques exemples, le lecteur, pourra consulter Anderson et Rubin (1949), Dufour (1990, 1997), Staiger et Stock (1997), Dufour et Kiviet (1998), Dufour et Torrès (1998) et Dufour et Jasiak (2001).

Nous allons maintenant étudier de façon plus précise comment construire la région de confiance I. Pour ce faire, il sera utile d’examiner d’abord des cas spéciaux, les processus AR(1) et AR(2), pour ensuite traiter le cas général d’un processus AR(p).

3.1 Processus autorégressif d’ordre 1

Dans le cas d’un processus AR(1), les équations (1.1) et (1.3) s’écrivent :

(3.3)

y_t = β₁ + φy_t-1 + u_t = β₁ + θ₁y_t-1 + u_t, t = 1, ..., T

où u_t N[0, σ²], t = 1, ..., T, T ≥ 2, θ₁ = φ et y₀ est indépendant de u = (u₁, ..., u_T)′. Nous n’imposerons pas de conditions supplémentaires sur la distribution de y₀. Afin de construire une région de confiance exacte pour θ₁, on considère une famille de tests de la forme (2.9) pour les hypothèses H₀(θ₁₀). Alors l’ensemble des valeurs θ₁₀ qui ne sont pas rejetées par cette méthode,

(3.4)

I = {θ₁₀ : d₁₁(α₁₁) ≤ D₁(θ₁₀) ≤ d₂₁(α₂₁)},

est une région de confiance de niveau 1 – α pour θ₁, où α = α₁₁ + α₂₁. Il est clair que

(3.5)

θ₁ ∈ I  ssi  d₁₁(α₁₁) ≤ D₁(θ₁) ≤ d₂₁(α₂₁)

ce qui équivaut à dire que θ₁ ∈ I₁ ∩ I₂ où

(3.6)

I₁ = {θ₁₀ : D₁(θ₁₀) ≥ d₁₁(α₁₁)}, I₂ = {θ₁₀ : D₁(θ₁₀) ≤ d₂₁(α₂₁)}

et «  ssi  » signifie « si et seulement si ». En remplaçant D₁(θ₁) par la formule (2.5), on aura : θ₁ ∈ I₁ ∩ I₂ ssi

(3.7)

ou, de façon équivalente,

(3.8)

(3.9)

z(θ₁) = y – θ₁y_-1, y = (y₁, y₂, ..., y_T)′, y_-1 = (y₀, y₁, ..., y_T-1)′.

En remplaçant z(θ₁) par sa valeur en (3.9) et, après quelques manipulations, on peut voir que θ₁ ∈ I₁ ∩ I₂ ssi

(3.10)

a₁₁θ²₁ + b₁₁θ₁ + c₁₁ ≥ 0 et a₂₁θ²₁ + b₂₁θ₁ + c₂₁ ≤ 0

où

(3.11)

(3.12)

Une fois qu’on a les racines des deux polynômes du second degré en (3.10), il est facile de trouver les valeurs de θ₁, pour lesquelles a₁₁θ²₁ + b₁₁θ₁ + c₁₁ ≥ 0 et a₂₁θ²₁ + b₂₁θ₁ + c₂₁ ≤ 0. Ces dernières constituent la région de confiance I = I₁ ∩ I₂. Si de plus, on impose la condition de stationnarité ∣θ₁∣ < 1, l’ensemble = I₁ ∩ I₂ ∩ (–1, +1) constitue toujours une région de confiance de niveau α. De même, si on impose plutôt ∣θ₁∣ ≤ 1, l’ensemble = I₁ ∩ I₂ ∩ [–1, +1] sera une région de confiance de niveau α.

3.2 Processus autorégressif d’ordre 2

Dans le cas d’un processus AR(2), l’équation (1.3) devient :

y_t = β₁ + θ₁y_t-1 + θ₂(y_t-1 – y_t-2) + u_t

(3.13)

= β₁ + θ₁y_t-1 + θ₂Δy_t-1 + u_t, t = 1, ..., T

où u_t N[0, σ²], t = 1, ..., T, T ≥ 3 et y_-1, y₀ sont indépendants de u = (u₁, ..., u_T)′. Afin de construire une région de confiance valide pour θ = (θ₁, θ₂)′, on considère une famille de tests du type (2.9) avec j = 1, 2, pour des hypothèses de la forme H₀(θ₀), où θ₀ = (θ₁₀, θ₂₀)′ est le vecteur des valeurs hypothétiques. L’ensemble des valeurs de θ₀ non rejetées par le test,

(3.14)

I = {θ₀ : d_1j(α_1j) ≤ D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, 2},

est une région de confiance conjointe pour θ de niveau supérieur ou égal à 1 – α. Nous avons :

θ ∈ I  ssi  (θ ∈ I₁ et θ ∈ I₂)

où

I₁ = {θ₀ : D_j(θ₀) ≥ d_1j(α_1j), j = 1, 2}, I₂ = {θ₀ : D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, 2}.

En remplaçant de nouveau D_j(θ) par la formule (2.5), on voit que

(θ ∈ I₁ et θ ∈ I₂)  ssi

(3.15)

ssi

où

z(θ) = (y – θ₂Δy_-1) – θ₁y_-1

et y_-1 = (y₀, ..., y_T-1)′, Δy_-1 = (y₀ – y_-1, y₁ – y₀, ..., y_T-1 – y_T-2)′.

Ici z(θ) dépend de deux paramètres inconnus θ₁ et θ₂. Si on fixe θ₂ = θ₂₀, la résolution de ces inéquations nécessite la recherche des racines de quatre polynômes du second degré comme dans le cas d’un processus AR(1). Pour θ₂₀ donné, définissons :

I₁(θ₂₀) = {(θ₁, θ₂₀)′ : D_j(θ₁, θ₂₀) ≥ d_1j, j = 1, 2} ,

I₂(θ₂₀) = {(θ₁, θ₂₀)′ : D_j(θ₁, θ₂₀) ≤ d_2j, j = 1, 2}

et I (θ₂₀) = {θ : θ ∈ I₁(θ₂₀) et θ ∈ I₂(θ₂₀)}.

I(θ₂₀) représente le sous-ensemble conditionnel (possiblement vide) des éléments de I tels que θ₂ = θ₂₀. On voit facilement que I = I(θ₂₀) où S₂ est l’ensemble des valeurs admissibles de θ₂. (θ₁, θ₂₀)′ ∈ I(θ₂₀) ssi les inéquations (3.15) sont vérifiées pour

z(θ) = (y – θ₂₀Δy_-1) – θ₁y_-1 = z(θ₂₀) – θ₁y_-1.

De plus,

θ ∈ I₁(θ₂₀) ssi (a_1jθ²₁ + b_1jθ₁ + c_1j ≥ 0, j = 1, 2)

et θ ∈ I₂(θ₂₀) ssi (a_2jθ²₁ + b_2jθ₁ + c_2j ≤ 0, j = 1, 2)

où

Notons que le choix de fixer θ₂ plutôt que θ₁ n’est pas arbitraire, car si on impose les conditions de stabilité, le domaine des valeurs admissibles de θ₂ est plus restreint que celui de θ₁. On peut alors effectuer un balayage des valeurs admissibles de θ₂₀, en résolvant à chaque fois les inéquations (3.15) correspondantes. On trouve ainsi :

En particulier, si on impose les conditions de stabilité sur θ₂ et θ₁, la région de confiance

(3.16)

où = {(θ₁, θ₂)′ : –3 < θ₁ < 1, ∣θ₂∣ < 1, 2θ₂ + θ₁ > – 1}, est de niveau 1 – α pour θ[4].

3.3 Processus autorégressif général

Pour le cas d’un processus AR(p), où p ≥ 1, on peut procéder de façon analogue. On considère p tests de la forme (2.9) et l’ensemble des valeurs de θ₀ qui ne sont rejetées par aucun de ces tests,

I = {θ₀ : d_1j(α_1j) ≤ D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, ..., p},

constitue une région de confiance conjointe de niveau 1 – α pour θ. Il est facile de voir que

(3.17)

θ ∈ I  ssi  (D_j(θ) ≥ d_1j(α_1j) et D_j(θ) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, ..., p)

ssi  (θ ∈ I₁ et θ ∈ I₂)

où

I₁ = {θ₀ : D_j(θ₀) ≥ d_1j(α_1j), j = 1, ..., p},

I₂ = {θ₀ : D_j(θ₀) ≤ d_2j(α_2j), j = 1, ..., p}.

En particulier,

θ ∈ I₁  ssi  (D_j(θ) ≥ d_1j(α_1j), j = 1, ..., p)

ssi  

(3.18)

ssi  

où

z(θ) = (y – θ₂Δy_-1 – θ₃Δy_-2 – .... – θ_pΔy_-p+1) – θ₁y_-1 = z(θ₂) – θ₁y_-1,

et Δy_-k = (Δy_-k, ..., Δy₀, ..., Δy_T-k+1)′, k ≥ 1.

Les inéquations (3.18) dépendent de p paramètres inconnus. = (θ₂₀, ..., θ_p0)′, le problème se réduit à la résolution de polynômes du second degré en θ₁. Plus précisément,

(3.19)

ssi  

Il s’agit donc de trouver les valeurs de θ₁ qui satisfont les inéquations

(3.20)

a_1jθ²₁ + b_1jθ₁ + c_1j ≥ 0 j = 1, ..., p

où De la même façon,

(3.21)

où Pour chaque fixe, on obtient une région de confiance pour θ₁ (conditionnelle par rapport à ). En faisant ainsi un balayage de l’ensemble des valeurs possibles de et en résolvant les 2p polynômes du second degré en (3.20) et (3.21), on construit alors la région de confiance conjointe

où S₂ est l’ensemble des valeurs de admissibles (par exemple, sous l’hypothèse de stationnarité).

4. Tests d’hypothèses générales

Supposons maintenant que l’on s’intéresse à p fonctions g₁(θ), ..., g_p(θ) de θ. Étant donné la région I, on peut construire par une méthode de projection des régions de confiance simultanées de niveau 1 – α pour g₁(θ), ..., g_p(θ). En effet,

(4.1)

θ ∈ I ⇒ g_i(θ) ∈ g_i(I), i = 1, ..., p

et donc

(4.2)

P[g_i(θ) ∈ g_i(I), i = 1, ..., p] ≥ P[θ ∈ I] ≥ 1 – α.

Les régions de confiance g_i(I), i = 1, ..., p ainsi définies sont dites simultanées, car la probabilité que les p événements g_i(θ) ∈ g_i(I), i = 1, ..., p, se produisent ensemble (simultanément) est au moins égale à 1 – α. Les intervalles de confiance usuels (comme les intervalles de niveau 1 – α habituellement rapportés pour les coefficients d’une régression) ne sont pas simultanés (voir Miller, 1981 et Savin, 1984), ce qui signifie que la fiabilité de l’analyse peut se détériorer de façon marquée si l’on considère des transformations qui font intervenir plusieurs paramètres du modèle. Comme cas spécial, on peut s’intéresser aux composantes individuelles θ_i du vecteur θ, ce qui permet d’obtenir des intervalles de confiance simultanés pour les différents coefficients θ₁, θ₂, ..., θ_p. Il est clair en outre que la condition (4.2) implique

(4.3)

P[g_i(θ) ∈ g_i(I)] ≥ 1 – α, i = 1, ..., p ,

c’est-à-dire les régions de confiance g_i(I) sont aussi des régions de confiance marginales au sens usuel du terme. Comme autre cas spécial, on peut s’intéresser à la construction de régions de confiance pour les racines du polynôme autorégressif en (1.1) et, à partir de là, examiner si ces racines se trouvent à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle unité.

Sur la base d’une région de confiance I pour θ, on peut aussi tester n’importe quelle restriction sur les paramètres du modèle. Considérons en effet une hypothèse générale de la forme

(4.4)

H₀ : θ ∈ Ω₀

où Ω₀ est un sous-ensemble non vide de ℝ^p. Une façon simple de tester H₀ consiste à

(4.5)

rejeter H₀ lorsque I ∩ Ω₀ = ø

où I est une région de confiance de niveau 1 – α pour θ, c’est-à-dire

(4.6)

P[θ ∈ I] ≥ 1 – α.

Le test ainsi construit est de niveau α. Sous H₀, l’événement θ ∈ I est équivalent à θ ∈ I ∩ Ω₀, et donc

(4.7)

P[I ∩ Ω₀ = ø] ≤ P[θ ∉ I ∩ Ω₀] = P[θ ∉ I] ≤ α.

Par exemple, on peut tester des hypothèses portant sur les racines du polynôme autorégressif en (1.1) ou (1.3), lesquelles constituent en général des transformations non linéaires des coefficients de ces polynômes. Pour ce faire on peut associer à la région I les régions correspondantes R_i(I), i = 1, ..., p, pour les racines de ces polynômes (qu’on peut ordonner de façon naturelle par ordre croissant des modules). De là, on peut tester n’importe quelle hypothèse sur la position de ces racines, sur la plus grande racine en module, etc. Le lecteur trouvera une discussion plus approfondie de ce genre de méthodes dans Dufour (1997), Abdelkhalek et Dufour (1998), Dufour et Kiviet (1998) et Dufour et Jasiak (2001).

5. Application au P.I.B. réel tunisien

Afin d’illustrer les méthodes proposées plus haut, nous allons étudier la série du P.I.B. réel tunisien (PIB_t) de 1961 à 1992 (annuel, en millions de dinars de 1990)[5]. Si on commence par examiner le graphe de la série PIB_t, on voit que cette dernière croît de façon exponentielle. Il apparaît donc approprié de prendre le logarithme de la série, que nous noterons y_t = ln (PIB_t). Cette dernière croît de façon linéaire. Après avoir examiné (suivant la méthode de Box et Jenkins, 1976) les autocorrélations et les autocorrélations partielles de cette série (voir les graphiques 1 et 2), il nous est apparu qu’un modèle de type AR(2) serait approprié pour la série y_t; pour plus de détails, le lecteur pourra consulter Neifar (1996). Si on estime un tel modèle par moindres carrés ordinaires (MCO), on trouve le résultat suivant :

(5.1)

où les chiffres entre parenthèses sont respectivement les écarts-types et les statistiques t de Student, DW est la statistique de Durbin-Watson et SSR la somme des carrés des erreurs. Si on suppose que les statistiques t de Student pour tester différentes valeurs de θ₁ et θ₂ dans ce modèle suivent approximativement une loi t(27), on peut calculer des intervalles de confiance pour θ₁ et θ₂. Ainsi aux niveaux 0,95 et 0,975 [t_0,025(27) = 2,052 et t_0,0125(27) = 2,3734], on obtient de cette manière les intervalles suivants : au niveau 0,95,

(5.2)

θ₁ ∈ [0,9445, 1,0044], θ₂ ∈ [–0,6244, 0,05712]

et, au niveau 0,975,

(5.3)

θ₁ ∈ [0,9398, 1,0091], θ₂ ∈ [–0,6778, 0,1105].

Graphique 1

Autocorrélations du logarithme du P.I.B. tunisien (1961-1992)

Graphique 2

Autocorrélations partielles du logarithme du P.I.B. tunisien (1961-1992)

Bien entendu, la fiabilité d’une telle approximation peut être fort mauvaise ici (même asymptotiquement), notamment dans le voisinage du cercle unité. Nous rapportons ces intervalles seulement pour fin de référence.

Maintenant, nous allons utiliser l’approche développée dans les sections précédentes pour construire une région de confiance de niveau 0,95 pour θ = (θ₁, θ₂)′. Les points critiques d_1j et d_2j, utilisés pour les statistiques d₁ et d₂, calculés par l’algorithme d’Imhof (1961), sont les suivants : d₁₁ = 1,222, d₂₁ = 2,77797, d₁₂ = 1,1597, d₂₂ = 2,7135. Ces points correspondent à des probabilités de queue égales à α/4 = 0,0125, de façon à ce que la probabilité de rejet du test global ne soit pas supérieure à α = 0,05.

Comme en présence d’une constante, la statistique d_j(θ) a une distribution symétrique par rapport à 2, il est naturel de choisir α_ij = α_j/2. De plus, nous avons traité de façon symétrique les deux coefficients θ₁ et θ₂, d’où le choix de α_ij = α /4. Notons que les différents partages de α en α_j, j = 1, ..., p conduisent à des procédures différentes dont les puissances ne sont pas en principe identiques. A priori il n’est pas évident qu’un certain partage domine uniformément les autres.

Si on considère d’abord un ensemble admissible de valeur de θ₂ contraint sur [–2,0, 2,0], sans imposer les conditions de stationnarité, on obtient la région de confiance conjointe pour θ₁ et θ₂ qui apparaît sur le graphique 3. On remarque que celle-ci est très allongée autour de θ₁ = 1, qu’elle est petite par rapport au triangle de stationnarité et que l’estimation de θ₁ paraît beaucoup plus précise que celle de θ₂[6]. Sur le graphique 4, nous montrons un agrandissement de la région pertinente.

Graphique 3

Région de confiance exacte de niveau 0,95 pour les coefficients du modèle AR(2) du P.I.B. tunisien (1961-1992)

Graphique 4

Région de confiance exacte agrandie de niveau 0,95 pour les coefficients du modèle AR(2) du P.I.B. tunisien (1961-1992)

Pour obtenir des intervalles de confiance pour θ₁ et θ₂, nous procédons par projection sur les axes θ₁ et θ₂, ce qui donne les intervalles de confiance (simultanés) suivants :

(5.4)

θ₁ ∈ [0,84, 1,14] θ₂ ∈ [–2, 2].

On remarque que l’intervalle pour θ₁ est très précis, tandis que l’intervalle pour θ₂ n’est pas informatif. Ces résultats illustrent le fait que c’est la paire de coefficient (θ₁, θ₂)′ qui est importante pour déterminer la distribution des données et non les coefficients individuels θ₁ et θ₂. Il est clair d’après ces résultats que l’hypothèse θ₁ = 1 ne peut être rejetée au niveau 0,05.

Si on impose maintenant une condition de stationnarité sur θ₁ et θ₂, c’est-à-dire on restreint les coefficients à l’ensemble

(5.5)

S = {∣θ₂∣ < 1, –3 < θ₁ < 1 et 2θ₂ + θ₁ > –1},

on obtient la portion de la région de confiance originale située à l’intérieur du triangle du graphique 3. Cette région est aussi de niveau au moins égal à 0,95 (pourvu que la contrainte de stationnarité soit satisfaite). Les intervalles de confiance par projection correspondants sont alors :

θ₁ ∈ [0,92;1], θ₂ ∈ (–1;1).

Nous remarquons enfin que ces résultats sont compatibles avec ceux que suggèrent l’équation (3.1), car les paramètres trouvés par la première méthode appartiennent aux intervalles de confiance exacts. En outre, les intervalles de confiance pour θ₁ sont très proches (notamment sous l’hypothèse de stationnarité), tandis que l’intervalle asymptotique pour θ₂ (voir 5.2) est beaucoup plus petit que celui fondé sur la méthode exacte, ce qui jette un doute sur la fiabilité de l’approche asymptotique dans ce cas.

La région de confiance simultanée présentée sur le graphique 3 a été obtenue en fixant d’abord θ₂ = θ₂₀ puis, pour chaque valeur de θ₂ dans l’intervalle [–2, 2], les valeurs de θ₁ qui ne sont pas rejetées (par résolution des équations du second degré décrites à la section 3.2). On pourrait procéder à l’inverse en fixant d’abord θ₁ = θ₁₀ et en cherchant les différents valeurs acceptables pour θ₂. Cette modification conduit au même résultat.

Conclusion

L’inférence statistique sur des modèles autorégressifs d’ordre p est un problème central de l’analyse économétrique. Les méthodes disponibles sont généralement fondées sur des approximations asymptotiques. Il n’y a aucune garantie que ces méthodes sont « valides en échantillon fini ».

Dans cet article, nous avons proposé des méthodes d’inférence valide en échantillon fini pour des processus possiblement non stationnaires. La particularité du calcul des régions de confiance réside dans sa simplicité. Dans le cas AR(1), la construction de régions de confiance se limite à la résolution de deux polynômes de second degré. L’application des méthodes proposées à un modèle du P.I.B. réel tunisien nous a permis d’obtenir des régions de confiance conjointes et individuelles qui sont assez précises. La recherche d’autres méthodes d’inférence exactes est souhaitable afin de faire une comparaison rigoureuse des résultats en terme de puissance et robustesse des différentes approches.

Notes

• [1] Pour des survols de la théorie des tests induits et de l’inférence simultanée, le lecteur pourra consulter Miller (1981) et Savin (1984).
• [2] La théorie des tests de type Durbin-Watson contre l’autocorrélation à des délais plus grand que un a été discutée par de nombreux auteurs; voir par exemple, Wallis (1972), Schmidt (1972), Vinod (1973) et King (1987).
• [3] Pour plus de détails sur ce type de méthodes, le lecteur pourra consulter Dufour (1990), Dufour et Torres (1998) ainsi que les diverses références fournies dans ces articles.
• [4] S₂ est la région de stationnarité pour un processus autorégressif d’ordre deux. Sur les conditions que doivent satisfaire les coefficients de processus autorégressifs d’ordre 2 à 5 pour être stationnaires, le lecteur pourra consulter Farebrother (1973, 1974a, 1974b, 1974c, 1976, 1987).
• [5] Les données utilisées proviennent de la « Banque de données macroéconomiques » de l’Institut d’économie quantitative de Tunis (1992).
• [6] Ceci suggère qu’une fois fixée la valeur de θ₁ autour de 1, l’influence de la valeur de θ₂ sur la loi des données est difficile à détecter, à tout le moins sur un échantillon aussi petit que celui considéré ici. Bien qu’analogue à un problème de non-identification ou de quasi-non-identification (voir Dufour, 1997), cette difficulté se rapproche plus de l’imprécision induite par la multicollinéarité dans les modèles de régression, car les valeurs retardées de séries intégrées ou quasi intégrées sont fortement corrélées entre elles.